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L'horloge et les nombres
L'horloge comporte un cadran et trois aiguilles.
La petite aiguille marque les heures, la grande les minutes et la trotteuse, les secondes. Son observation va donc permettre de se familiariser avec les nombres. C'est un outil important pour aborder les mathématiques. Évitez les montres digitales ! Les enfants ont besoin de repères. L'idée du temps qui passe est une notion importante en mathématiques car elle permet de construire des solutions algorithmiques claires à beaucoup de types de problèmes. Pour les tout petits, vous avez les nombres de 1 à 12. Demandez leur, par exemple, de reconstituer le cadran de l'horloge avec des allumettes. Ils n'auront pas besoin d'escalader le clocher de l'église pour compter à la Gelman, comme le leur imposent, les pédagogues dits modernes.
Avec les nombres romains et en observant les doigts de la main, l'enfant peut apprendre les premiers nombres, les compléments à cinq, puis à 10.
Voir deux petits programmes personnels: Ensuite, la graduation pour les minutes et les secondes permettra d'apprendre et de mémoriser la table de multiplication et de division par 5. Une heure= 60 minutes. Une minute = 60 secondes. Donc une heure (60 X60) c'est 3600 secondes La graduation, ce sont des bornes d’intervalles, la numérotation.Les espaces, le temps qui passe différent selon l’aiguille, ce sont des grandeurs (Le cardinal définit l'ensemble des éléments, l'ordinal ne désigne qu'un seul élément). Cette file numérique est une ligne fermée circulaire. Il y a donc autant d’espaces que de bornes.
Les nombres évoquent donc à la fois des ordinaux et des cardinaux.
Mais la ligne numérique américaine qui continue à être utilisée dans les écoles françaises, une droite rectiligne et infinie, ne fournit pas de repères visuels assez clairs pour que tous les enfants puissent combiner les cardinaux avec les ordinaux. C’est bien trop abstrait (Le numéro représente à la fois le cardinal et l'ordinal du même nombre.). En plus de l’observation de l’horloge, je conseillerais de préférer mon mètre pliant à la ligne droite. Les marques sont des numéros, les carrés, ce sont des grandeurs. C’est la reproduction du mètre du maçon que m’offrit mon oncle Joseph à la même époque, dans mon enfance, en 1947. Les repères, que constituent les gares des dizaines, induisent de décomposer les nombres, donc de préférer le calcul-dénombrement au calcul-numérotage, la nuisance absolue au calcul mental. Une marque spéciale, tous les cinq centimètres, permet une meilleure discrimination visuelle des nombres (comptage vs vision globale des carrés).
Remarques:
Deux jeux de files numériques:
 Influence du Breton (ma langue maternelle) sur le sens des nombres Pour la compréhension des cent premiers nombres et du sens des quatre opérations, la langue bretonne est vraiment avantageuse, bien plus que le Chinois. (Le cheval d’orgueil de Pierre Jakès Hélias, chapitre les enfants de la République) Pour en revenir à la notion du temps qui passe, rappelons la règle du jeu de cache cache : Un joueur, désigné comme le chercheur, compte jusqu'à un certain nombre pendant que les autres se cachent. Lorsque j’étais un tout petit enfant, je devais compter jusqu’à vingt. Mais, je connaissais parfaitement la suite par cœur. Je la débitais dans un seul souffle, et les copains n’avaient pas le temps de faire dix pas. Ma mère eut l’idée de me faire observer la balançoire et de compter les oscillations. Comme elle mesurait plus d’un mètre, l’intervalle de temps entre les numéros était plutôt long. Ce n’est que lorsque je sus lire l’heure, que je pus compter par secondes, en observant la trotteuse d’une montre. Voici une chanson que ma maman aimait chanter:
La même chanson interprétée par Berthe Sylva Clip à écouter et à voir pour admirer une belle collection d'horloges et de pendules. Lorsque je dis « il est 3 heures et quart », nous sommes déjà dans la 4e heure. Les aiguilles n'arrêtent pas de tourner à la borne douze. Il n'y a donc pas d'espace entre deux nombres consécutifs quoiqu'en dise un éminent et influent neuroscientifique français bien connu, membre de l'Académie des sciences. Les seuls espaces sont ceux que l'on peut distinguer entre les numéros: les unités de temps (2 numéros succesifs). J'ose espérer que ce n'est qu'une simple erreur de langage. Dans la vie courante, pourquoi un instituteur aligne-t-il les enfants (à la queue leu-leu ou en se donnant la main) avant de monter dans le bus ? C’est pour les compter ou les dénombrer, afin de ne perdre personne. Dans un espace en deux ou trois dimensions, les éléments sont dispersés. Pour pouvoir les compter, on les représente alignés, ou mieux, on les regroupe géométriquement pour les dénombrer (décompositions additives et multiplicatives).
Mais au niveau des nombres, il n’y a pas d’espace entre deux nombres consécutifs.
Il y a des espaces, seulement, entre les numéros. Je ne suis pas un spécialiste du CP et je n'ai jamais enseigné en classe maternelle. Cette approche du nombre est donc familiale. Dans ma famille, nous ne sommes pas trop mauvais en mathématiques. Nous savons nous situer dans l’espace et dans le temps. Vous en avez la preuve ici,
en résolution de problèmes (trois générations).
Voyez les solutions originales et inédites !Comment résoudre les célèbres problèmes d'un autre âge de Widmann ou des bœufs de Newton sans un GPS biologique bien entraîné ? (Voir les travaux de John O'Keefe, May-Britt et Edvard Moser: Prix Nobel de médecine 2014 ) L’un des types de problèmes de certif le plus difficile était, autrefois, celui qu’on résolvait par la méthode de fausse hypothèse (l’algèbre du pauvre). Les solutions algébriques étaient interdites au certificat d'études. J’ai inventé une méthode informatique qui permet de résoudre tous ces problèmes plus simplement, une seule formule: (a-b)/n. Nos anciens l’auraient sans doute trouvée s’ils avaient pu disposer d’un ordinateur capable d’afficher le résultat de centaines d’opérations en une fraction de seconde. Tant qu’on raisonne sur de tout petits nombres, on peut prouver ou anticiper un résultat par de simples manipulations. L’informatique permet de remplacer ces manipulations par des simulations. Ainsi, j'ai inventé la résolution de problèmes assistée par ordinateur. Et lorsqu'on a trouvé une première solution, en découvrir d'autres devient beaucoup plus simple (On connaît le point de départ et le point d’arrivée.) et on pourra en comparer les algorithmes, inhiber les plus douteux, et conserver celui qu'on juge le meilleur. Ma découverte repose sur l’interprétation d’intervalles (un nombre cardinal) et de bornes d’intervalles (nombres ordonnés). La démonstration se trouve ici
Avant de pouvoir combiner les ordinaux avec les cardinaux,
il faut être capable de distinguer bornes d'intervalles et intervalles. Impossible pour les laudateurs de la droite numérique américaine. Voici l’avis éclairé d’un scientifique de haut niveau, mais aussi un grand pédagogue : Olivier Houdé
« On oublie que les professeurs ont un cerveau ! » Dans les classes de CE2, on fête souvent les anniversaires des enfants. Généralement, ils ont juste 8 ans, ce jour-là. Le lendemain, ils auront 8 ans et un jour (8 ans plus 1/365 année). Il faudra attendre l’année suivante, à la même date, pour qu’ils aient 9 ans. Ah ! Si l’on pouvait arrêter les aiguilles … (Il n’y a pas d’espace suppémentaire à l’unité an, entre 8 ans et 9 ans.) On peut mesurer des longueurs avec le mètre de tonton Joseph. Parfois cela fait un nombre exact de centimètres. Parfois, la longueur est comprise entre deux bornes. Heureusement, chaque centimètre est gradué en millimètres (1cm = 10 mm). Un segment peut donc mesurer 4 cm et 8 mm, en nombre décimal 4,8 cm. Ce nombre est lu, quatre centimètres huit dixièmes. Toujours la même continuité entre deux nombres successifs. La virgule, par sa position, sépare la partie entière de la partie décimale. La partie décimale est une fraction de l'unité qui conduit au nombre suivant. Et, par les fractions, nous pouvons faire comprendre les nombres décimaux.
C'est le 7e ensemble de carrés. Il comporte 7 éléments. Dès qu'on franchit la ligne on entame le nombre suivant. Voyez-vous un quelconque espace ?
Le nombre cardinal désigne tous les éléments d’un ensemble.
Le nombre ordinal ne désigne qu’un seul élément de cet ensemble, le dernier compté. C’est le numéro affiché qui va permettre de combiner le nombre cardinal et le nombre ordinal. Lorsque l’enfant aura compris cette subtilité, il aura fait un grand progrès en mathématiques. C'est la voie vers l'abstraction véritable. Cela va devenir encore plus intéressant pour l'apprentissage des fractions.
(1/4), (2/4) et (3/4) sont des fractions de l’unité.
(4/4) est égal à l’unité 1. (5/4), (6/4) et (7/4) sont supérieurs à l’unité 1. Nous entrons dans le 2e nombre. Une heure moins le quart, c’est trois quarts d’heure. Une heure, c’est quatre quarts d’heure. C’est au passage de l’aiguille sur le 12 de l’horloge que l’on passe dans la 2e heure. Comme l’aiguille ne s’arrête pas, il n’y a donc pas d’espace entre la fin de la 1ère heure et le début de la 2e heure. Il n’y a pas d‘espace entre deux nombres consécutifs. Si la France désire quitter la dernière place du classement TIMMS, il faudrait absolument abandonner cette frise numérique américaine. On ne peut pas représenter un nombre sur une droite par un point géométrique. L'une des questions de test de CP à l'école donne aux enfants une notion erronée de la représentation du nombre. Mais:  Ce tableau est extrait de la Note du CSEN N°5 (février 2022) Conseil supérieur de l'éducation nationale. Voir la note N°5
Le CSEN alerte sur le déficit de compréhension des fractions des élèves français. (septembre 2023) Sur la ligne numérique américaine on représente un nombre par un point dont l'épaisseur, par définition est nulle. Et dans ce tableau on représente zéro par un carré qui a la même épaisseur que l'untité de nombre. Toute fraction de zéro vaut zéro. Prendre une fraction d'un point n'a pas de sens. L'espace que le CSEN voit entre deux points successifs de la file numérique américaine n'est autre que l'unité des nombres. Mais le zéro du tableau, je peux le partager en bon nombre de parts ! Or, dans l'apprentissage des fractions je vais diviser l'unité en parts.L'enfant comprendra comment partager un gâteau en 2, en 3, en 4, etc. Je me servirai ensuite des fractions d'heures. Puis je me servirai de diverses figures géométriques et enfin je poursuivrai par les divisions du mètre. 1m=10 dm ce sont des dixièmes du mètre. 1m=100 cm ce sont des centièmes du mètre. 1m= 1000 mm ce sont des millièmes du mètre. C'est la base même de la numération décimale, l'introduction des nombres décimaux. Tous les membres du conseil supérieur de l'éducation nationale ont besoin d'un sérieux recyclage auprès d'instituteurs qui connaissaient leur métier, de préférence ceux qui étaient à l'école normale avant 1970. J'avais écrit au secrétaire perpétuel de l'Académie des sciences, membre du CSEN. J'attends toujours une réponse. Apprendre à lire l'heure La tarte aux fraises (fractions) Somme de deux fractions Tous mes petits programmes peuvent être téléchargés à l'adresse suivante: Mes programmes
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