L'horloge et les nombres

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     L'horloge comporte un cadran et trois aiguilles.
     La petite aiguille marque les heures, la grande les minutes et la trotteuse, les secondes.
     Son observation va donc permettre de se familiariser avec les nombres. C'est un outil important pour aborder les mathématiques. Évitez les montres digitales ! Les enfants ont besoin de repères.
     L'idée du temps qui passe est une notion importante en mathématiques car elle permet de construire des solutions algorithmiques claires à beaucoup de types de problèmes.
     Pour les tout petits, vous avez les nombres de 1 à 12.       Demandez leur, par exemple, de reconstituer le cadran de l'horloge avec des allumettes. Ils n'auront pas besoin d'escalader le clocher de l'église pour compter à la Gelman, comme le leur imposent, les pédagogues dits modernes.
  Parfois le nombre 4 est représenté par 4 bâtons.
     L'œil humain a du mal à discriminer un alignement d'objets supérieur à quatre. Six ne peut pas être représenté par 6 bâtons.
     Ma mère, qui m'a appris à lire l'heure, vers quatre ans, en breton, sur un cadran aux nombres romains, ne m'aurait jamais permis de jouer aux cartes avec le jeu présenté au concours 2014 des professeurs des écoles.
     Et pourtant, elle n'avait jamais entendu parler de Piaget. La 5e carte représentait un alignement de 6 bâtons.
Qui était meilleur pédagogue? Ma mère qui avait quitté l'école à dix ans, ou tous ces experts?


     Avec les nombres romains et en observant les doigts de la main, l'enfant peut apprendre les premiers nombres, les compléments à cinq, puis à 10.

Voir deux petits programmes personnels:
     Ensuite, la graduation pour les minutes et les secondes permettra d'apprendre et de mémoriser la table de multiplication et de division par 5.

Une heure= 60 minutes. Une minute = 60 secondes. Donc une heure (60 X60) c'est 3600 secondes

     La graduation, ce sont des bornes d’intervalles, la numérotation ordinale.
     Les espaces, le temps qui passe différent selon l’aiguille, ce sont des cardinaux.
     Cette file numérique est une ligne fermée circulaire. Il y a donc autant d’espaces que de bornes.
     Les nombres évoquent donc à la fois des ordinaux et des cardinaux.

     Mais la ligne numérique américaine qui continue à être utilisée dans les écoles françaises, une droite rectiligne et infinie, ne fournit pas de repères visuels assez clairs pour que tous les enfants puissent combiner les cardinaux avec les ordinaux. C’est bien trop abstrait. En plus de l’observation de l’horloge, je conseillerais de préférer mon mètre pliant à la ligne droite. Les marques sont des numéros (ordinaux), les carrés, ce sont des grandeurs (cardinaux). C’est la reproduction du mètre du maçon que m’offrit mon oncle Joseph à la même époque, dans mon enfance, en 1947. Les repères, que constituent les gares des dizaines, induisent de décomposer les nombres, donc de préférer le calcul-dénombrement au calcul-numérotage, la nuisance absolue au calcul mental.
     Une marque spéciale, tous les cinq centimètres, permet une meilleure discrimination visuelle des nombres (comptage vs vision globale des carrés).


C'est cela le calcul-numérotage.

Avec mon mètre pliant on voit très bien qu'à partir de 7, il faut franchir 3 carrés pour aller à la gare de 10.
Et comme 3+5=8, il faudra encore 5 carrés : 10 + 5 =15.



C'est cela le calcul-dénombrement.

     Le mètre pliant à dix brins permet aussi la construction de diverses formes géométriques.

     Voir :     construction du mètre pliant.

     Ma mère avait surligné les carrés avec sa craie de couturière pour les rendre plus visibles. Son mètre ruban, qui mesurait 150 cm, ne pouvait pas servir à calculer, car il ne comportait pas de marques spéciales matérialisant les gares des dizaines, tout comme la droite numérotée américaine. Il servait seulement à mesurer des longueurs.


Cette file numérique permet d'épouser les formes du corps humain.
Une file numérique peut aller dans toutes les directions.

     Le mètre ruban, comme la droite numérique, permet le comptage-numérotage, mais pas le calcul-dénombrement.

Remarques:

  • Que ce soit en comptant les secondes, les minutes, les heures, des carrés ..., on constatera qu'il n'y a pas d'espace autre que la marque du numéro entre les grandeurs que l'on compte.
    Sur ma file numérique, le mètre pliant à dix brins, le numéro est l’étiquette que l’on peut lire. C’est le cardinal de l’ensemble des éléments carrés que l’on peut compter depuis le début de la file.
    Le premier ensemble de ma file (un seul élément) porte l’étiquette numérotée 1.
    Le deuxième ensemble de ma file (deux éléments) porte l’étiquette numérotée 2.
    Le troisième ensemble de ma file (trois éléments) porte l’étiquette numérotée 3. etc.
    J’en déduis qu’il n’y a pas d’espace entre deux nombres consécutifs, mais des espaces de numéros.

  • Le saut de la dizaine est simplifié. L'enfant n'a plus à apprendre bêtement par cœur, ni les compléments à dix, ni les tables d'additions. Le mètre pliant lui permet de se créer automatiquement des images mentales plus performantes, plus robustes, en lien avec les images des dominos double cinq ou tout simplement les doigts (mains et pieds). Pour les petits nombres on a une meilleure représentation spatiale dans un espace en deux dimensions que sur une simple ligne, surtout droite. Et on mémorise plus facilement des ensembles d'éléments de forme ronde. Mon mètre pliant permet de compléter ces méthodes pour faire le lien entre les ordinaux et les cardinaux, et cela va faciliter les calculs.

  • Comprendre la numération décimale devient simple:
    Vingt-sept (27), le vingt-septième numéro, c'est 2 brins et encore sept carrés. C'est donc 2 dizaines et 7 unités, soit 27 carrés.
    Soixante-douze (72), le soixante-douzième numéro, c'est 7 brins et encore 2 carrés. C'est donc 7 dizaines et 2 unités, soit 72 carrés.

  • Lorsque la somme de deux nombres est inférieure à 100, on pourra matérialiser l’addition par diverses décompositions (des cardinaux). Idem pour la soustraction.

  • J'encouragerais aussi les parents à jouer avec leurs enfants à des jeux de plateau. À la différence de la droite numérique américaine, ces jeux comportent des repères : Une ligne brisée de forme carrée pour les petits chevaux et une ligne numérique numérotée spiralaire pour le jeu de l’oie. Là, le déplacement s’effectue dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et les cases importantes sont des multiples de neuf. Une file numérique peut aller dans toutes les directions.
    Comme pour mon mètre à dix brins, ou l'horloge aux nombres romains, il n'y a pas de case numérotée zéro au jeu de l'oie.

  • L'image mentale de la file numérique joue un rôle important en résolution de problèmes lorsqu’on sait s’y repérer.
    Dans tout problème arithmétique, il est d'abord important de situer le repère du nombre du début de l'algorithme sur une échelle, de le comparer avec celui de la fin. Et on estime, puis on vérifie la justesse des calculs. Le mètre de « tonton Joseph » est une aide précieuse grâce à la combinaison des ordinaux et des cardinaux. La forme géométrique de cette ligne peut donc varier selon le problème posé. Ce ne sera pas évidemment une ligne droite infinie.  


Deux jeux de files numériques:
  •   La lettre mystère  
    Les numéros sont des lettres. On utilise (avant - après) pour se repérer dans la file. Le sens de la file va de la gauche vers la droite. Remarquons que l'alphabet arabe est lu, au contraire, de la droite vers la gauche.
    Une file numérique peut aller dans toutes les directions.
    Pour mieux comprendre qu'une lettre est un numéro, apprenez à vos enfants   à coder puis à crypter. C'est simple, quand on veut...
    En période de confinement, voilà un jeu qui pourrait amuser les enfants et les plus grands en communicant par Internet.


  •   Le nombre mystère  
    Si la plage de recherche allait de 1 à 100, je pourrais afficher une file numérique.
    Avec la droite numérique on ne pourrait utiliser que (avant – après) car on ne verrait que des numéros.
    Avec le mètre de « mon tonton Joseph » on pourrait aussi utiliser (plus grand – plus petit), car on verrait des carrés que l’on pourrait dénombrer.
    Mon mètre à dix brins permet de combiner les nombres cardinaux et les nombres ordinaux
    comme l'horloge.


  Influence du Breton (ma langue maternelle) sur le sens des nombres  
Pour la compréhension des cent premiers nombres et du sens des quatre opérations, la langue bretonne est vraiment avantageuse, bien plus que le Chinois.
(Le cheval d’orgueil de Pierre Jakès Hélias, chapitre les enfants de la République)


     Pour en revenir à la notion du temps qui passe, rappelons la règle du jeu de cache cache :
Un joueur, désigné comme le chercheur, compte jusqu'à un certain nombre pendant que les autres se cachent. Lorsque j’étais un tout petit enfant, je devais compter jusqu’à vingt. Mais, je connaissais parfaitement la suite par cœur. Je la débitais dans un seul souffle, et les copains n’avaient pas le temps de faire dix pas. Ma mère eut l’idée de me faire observer la balançoire et de compter les oscillations. Comme elle mesurait plus d’un mètre, l’intervalle de temps entre les numéros était plutôt long.
     Ce n’est que lorsque je sus lire l’heure, que je pus compter par secondes, en observant la trotteuse d’une montre.

Voici une chanson que ma maman aimait chanter:

  Si l´on pouvait arrêter les aiguilles
Au cadran qui marque les heures de la vie
Nos p´tits enfants si mignons, si gentils
N´ grandiraient pas pour déserter leur nid .

  La même chanson interprétée par Berthe Sylva  
Clip à écouter et à voir pour admirer une belle collection d'horloges et de pendules.

     Lorsque je dis « il est 3 heures et quart », nous sommes déjà dans la 4e heure. Les aiguilles n'arrêtent pas de tourner à la borne douze. Il n'y a donc pas d'espace entre deux nombres consécutifs quoiqu'en dise un éminent et influent neuroscientifique français bien connu, membre de l'Académie des sciences. Les seuls espaces sont ceux que l'on peut distinguer entre les numéros: les unités de temps (2 numéros succesifs). J'ose espérer que ce n'est qu'une simple erreur de langage.

     Dans la vie courante, pourquoi un instituteur aligne-t-il les enfants (à la queue leu-leu ou en se donnant la main) avant de monter dans le bus ? C’est pour les compter ou les dénombrer, afin de ne perdre personne.
     Dans un espace en deux ou trois dimensions, les éléments sont dispersés. Pour pouvoir les compter, on les représente alignés, ou mieux, on les regroupe géométriquement pour les dénombrer (décompositions additives et multiplicatives).
Mais au niveau des nombres, il n’y a pas d’espace entre deux nombres consécutifs.
Il y a des espaces, seulement, entre les numéros.


     Je ne suis pas un spécialiste du CP et je n'ai jamais enseigné en classe maternelle. Cette approche du nombre est donc familiale. Dans ma famille, nous ne sommes pas trop mauvais en mathématiques. Nous savons nous situer dans l’espace et dans le temps. Vous en avez la preuve   ici, en résolution de problèmes (trois générations). Voyez les solutions originales et inédites !
     Comment résoudre les célèbres problèmes d'un autre âge de Widmann ou des bœufs de Newton sans un GPS biologique bien entraîné ? (Voir les travaux de John O'Keefe, May-Britt et Edvard Moser: Prix Nobel de médecine 2014 )

     L’un des types de problèmes de certif le plus difficile était, autrefois, celui qu’on résolvait par la méthode de fausse hypothèse (l’algèbre du pauvre). Les solutions algébriques étaient interdites au certificat d'études.
     J’ai inventé une méthode informatique qui permet de résoudre tous ces problèmes plus simplement, une seule formule:
(a-b)/n. Nos anciens l’auraient sans doute trouvée s’ils avaient pu disposer d’un ordinateur capable d’afficher le résultat de centaines d’opérations en une fraction de seconde. Tant qu’on raisonne sur de tout petits nombres, on peut prouver ou anticiper un résultat par de simples manipulations. L’informatique permet de remplacer ces manipulations par des simulations. Ainsi, j'ai inventé la résolution de problèmes assistée par ordinateur. Et lorsqu'on a trouvé une première solution, en découvrir d'autres devient beaucoup plus simple et on pourra en comparer les algorithmes, inhiber les plus douteux, et conserver celui qu'on juge le meilleur.
     Ma découverte repose sur l’interprétation d’intervalles (un nombre cardinal) et de bornes d’intervalles (nombres ordonnés). La démonstration se trouve      ici   

Avant de pouvoir combiner les ordinaux avec les cardinaux,
il faut être capable de distinguer bornes d'intervalles et intervalles.

Impossible pour les laudateurs de la droite numérique américaine.

     Voici l’avis éclairé d’un scientifique de haut niveau, mais aussi un grand pédagogue :   Olivier Houdé

« On oublie que les professeurs ont un cerveau ! »



     Dans les classes de CE2, on fête souvent les anniversaires des enfants. Généralement, ils ont juste 8 ans, ce jour-là. Le lendemain, ils auront 8 ans et un jour (8 ans plus 1/365 année). Il faudra attendre l’année suivante, à la même date, pour qu’ils aient 9 ans.
     Ah ! Si l’on pouvait arrêter les aiguilles … (Il n’y a pas d’espace suppémentaire à l’unité an, entre 8 ans et 9 ans.)
     On peut mesurer des longueurs avec le mètre de tonton Joseph. Parfois cela fait un nombre exact de centimètres. Parfois, la longueur est comprise entre deux bornes. Heureusement, chaque centimètre est gradué en millimètres (1cm = 10 mm). Un segment peut donc mesurer 4 cm et 8 mm, en nombre décimal 4,8 cm. Ce nombre est lu, quatre centimètres huit dixièmes. Toujours la même continuité entre deux nombres successifs. Et, par les fractions, nous pouvons faire comprendre les nombres décimaux.

     Le nombre cardinal désigne tous les éléments d’un ensemble.
     Le nombre ordinal ne désigne qu’un seul élément de cet ensemble, le dernier compté.
     C’est ce numéro qui va permettre de combiner le nombre cardinal et le nombre ordinal.
     Lorsque l’enfant aura compris cette subtilité, il aura fait un grand progrès en mathématiques.



Cela va devenir encore plus intéressant pour l'apprentissage des fractions.




  •   Apprendre à lire l'heure  
  •   La tarte aux fraises (fractions)  
  •   Somme de deux fractions  

    Tous mes petits programmes peuvent être téléchargés à l'adresse suivante:
      Mes programmes



    Ces images ont été réalisées sous canvas. Il suffit de cliquer sur une image pour en afficher le code source.
     
    Une demi-heure,
    c'est (60mn :2 )

    soit 30 mn



    Un quart d'heure
    c'est (60mn : 4)

    soit 15 mn


    Le tiers d'une heure ,
    c'est (60mn :3 )

    soit 20 mn



    Le sixième d'une heure
    c'est (60mn : 6)

    soit 10 mn


    Le douzième d'une heure ,
    c'est (60mn :12 )

    soit 5 mn



    Une demi-heure, c'est deux quarts d''heure

    soit deux fois quinze minutes.

    Une demi-heure
    c'est aussi

    trois fois 10 mn

    Un quart d'heure

    c'est 3 fois cinq minutes.

    C'est aussi

    10mn + 5 mn

    Le tiers d'une heure

    c'est 20 minutes

    soit

    deux fois dix minutes.

    C'est aussi

    quatre fois cinq minutes

    ou encore

    15 mn + 5 mn

    Il est 2 heures moins le quart


    Il est 2h moins 15 mn


    Il est 1 h et 45 mn


     

    Mesure des angles et des arcs



         On mesure généralement les angles et les arcs en degrés.
         Un angle droit mesure 90°
         Un angle plat mesure 180°
         L'horloge permet d'avoir des repères. La mesure de l'arc correspond à la mesure de l'angle au centre correspondant.
         On prendra pour origine la marque qui correspond à 3h à l'horloge.
         Canvas utilise une autre unité: le radian.

      Plus de précisions

    Pour tracer un cercle on utilise l'instruction:

    t1.arc(310, 310, 300, 0, 2 * Math.PI);

    310 , 310 sont les coordonnées du centre du cercle.
    300 est la mesure, en points, du rayon du cercle.
    0, c'est l'origine de l'arc : en radians: Math.PI*0
    Pour tracer un cercle on construit un arc qui mesure 360°. En radians, Math.PI*12/6. Or la fraction 12/6 c'est aussi 2.
         Pour tracer des arcs on peut remplacer la fraction par le quotient. Par exemple 0.333 au lieu de 2/6

    Exemple

    On va construire un arc de cercle de 90° commençant à 7° et finissant à 97°

    t1.arc(310, 310, 250, Math.PI*7/180, Math.PI*97/180);

    On l'obtient figure de gauche.
    Pour réaliser les parts (fractions),
    il m'a fallu ajouter un triangle ayant pour sommet le centre du cercle et pour côté opposé la corde de l'arc.
    Voir les codes sources.
    On peut obtenir ces coordonnées
    grâce à mon application:
    http://www.rriou.infini.fr/souris/index.php

    Mais aussi par la trigonométrie (cosinus et sinus) pour obtenir les abcisses et les ordonnées des sommets du triangle.

    On pourrait continuer indéfiniment


    Ces images ont été réalisées sous canvas. Il suffit de cliquer sur une image pour en afficher le code source.
     


         Lorsqu'on simplifie des fractions, en utilisant le cadran de l'horloge, le plus grand dénominateur est 60 (1 heure = 60 minutes). On peut faire des exercices comparables à partir du rapporteur disque (360°). Là, l'origine, 0°, est fixée à 9 heures.
         Il est dommage, qu'on ne trouve plus cet outil, dans la trousse de l'élève du primaire.

        Mon MOOC d'utilisation du rapporteur




        Les fuseaux horaires