L'horloge et les nombres

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     L'horloge comporte un cadran et trois aiguilles.
     La petite aiguille marque les heures, la grande les minutes et la trotteuse, les secondes.
     Son observation va donc permettre de se familiariser avec les nombres. C'est un outil important pour aborder les mathématiques. Évitez les montres digitales ! Les enfants ont besoin de repères.
     L'idée du temps qui passe est une notion importante en mathématiques car elle permet de construire des solutions algorithmiques claires à beaucoup de types de problèmes.
     Pour les tout petits, vous avez les nombres de 1 à 12.       Demandez leur, par exemple, de reconstituer le cadran de l'horloge avec des allumettes. Ils n'auront pas besoin d'escalader le clocher de l'église pour compter à la Gelman, comme le leur imposent, les pédagogues dits modernes.
Parfois le nombre 4 est représenté par 4 bâtons.
     L'œil humain a du mal à discriminer un alignement d'objets supérieur à quatre. Six ne peut pas être représenté par 6 bâtons.
     Ma mère, qui m'a appris à lire l'heure, vers quatre ans, en breton, sur un cadran aux nombres romains, ne m'aurait jamais permis de jouer aux cartes avec le jeu présenté au concours 2014 des professeurs des écoles.
     Et pourtant, elle n'avait jamais entendu parler de Piaget.

  Voir cet exercice noté sur 14. (La 5e carte.)
Qui était meilleur pédagogue? Ma mère qui avait quitté l'école à dix ans, ou ces experts?


     Avec les nombres romains et en observant les doigts de la main, l'enfant peut apprendre les premiers nombres, les compléments à cinq, puis à 10.

Voir deux petits programmes personnels:
     Ensuite, la graduation pour les minutes et les secondes permettra d'apprendre la table de multiplication et de division par 5.

Une heure= 60 minutes. Une minute = 60 secondes. Donc une heure (60 X60) c'est 3600 secondes

     La graduation, ce sont des bornes d’intervalles, la numérotation ordinale.
     Les espaces, le temps qui passe différent selon l’aiguille, ce sont des cardinaux.
     La file numérique est une ligne fermée circulaire. Il y a donc autant d’espaces que de bornes.
     Les nombres évoquent donc à la fois des ordinaux et des cardinaux.

     À ce sujet, je vous recommande la lecture du livre « La science au service de l'école » de Stanislas Dehaène (paru en décembre 2019). On y a le même avis que moi.
     Mais la ligne numérique américaine, une droite rectiligne et infinie, ne fournit pas de repères visuels assez clairs pour que tous les enfants puissent combiner les cardinaux avec les ordinaux. C’est bien trop abstrait. En plus de l’observation de l’horloge, je conseillerais à Stanislas Dehaène de préférer mon mètre pliant à sa ligne droite. Les marques sont des numéros (ordinaux), les carrés, ce sont des grandeurs (cardinaux). C’est la reproduction du mètre du maçon que m’offrit mon oncle Joseph à la même épôque, dans mon enfance, en 1947. Les repères, que constituent les gares des dizaines, induisent de décomposer les nombres, donc de préférer le calcul-dénombrement au calcul-numérotage, la plaie absolue du calcul mental.
     Une marque spéciale, tous les cinq centimètres, permet une meilleure discrimination visuelle des nombres (comptage des carrés).


C'est cela le calcul-numérotage.

Avec mon mètre pliant on voit très bien qu'à partir de 7, il faut 3 carrés pour aller à la gare de 10.
Et comme 3+5=8, il faudra encore 5 carrés : 10 + 5 =15.
C'est cela le calcul-dénombrement.



     Le mètre pliant à dix brins permet aussi la construction de diverses formes géométriques.

     Voir :     construction du mètre pliant.

     Ma mère avait surligné les carrés avec sa craie de couturière pour les rendre plus visibles. Son mètre ruban, qui mesurait 150 cm, ne pouvait pas servir à calculer, car il ne comportait pas de marques spéciales matérialisant les gares des dizaines, comme la droite numérotée américaine.

Remarques:

  • Que ce soit en comptant les secondes, les minutes, les heures, des carrés ou toutes autres grandeurs, on constatera qu'il n'y a pas d'espace autre que la marque du numéro entre les grandeurs que l'on compte.
    Dans la question posée dans les tests Quel nombre occupe la position du trait gris ?, il y a une grossière erreur de vocabulaire. Il aurait fallu poser la question Quel numéro occupe la position du trait gris ? Comme il n'y a pas d'espace entre les nombres, cela suppose la connaissance des nombres décimaux qu'on n'étudie vraiment qu'au CM.

  • Le saut de la dizaine qui paraît difficile pour Stanislas Dehaène, est simplifié. L'enfant n'a plus à apprendre par cœur les compléments à dix. Le mètre pliant lui permet de se créer automatiquement des images mentales plus performantes, en lien avec les images des dominos double cinq, pour les petits nombres.

  • Comprendre la numération décimale devient simple:
    Vingt-sept (27), le vingt-septième numéro, c'est 2 brins et encore sept carrés. C'est donc 2 dizaines et 7 unités.
    Soixante-douze (72), le soixante-douzième numéro, c'est 7 brins et encore 2 carrés. C'est donc 7 dizaines et 2 unités.

  • Lorsque la somme de deux nombres est inférieure à 100, on pourra matérialiser l’addition par diverses décompositions (des cardinaux). Idem pour la soustraction.

  • Je suis d’accord avec Stanislas Dehaène lorsqu’il encourage les parents à jouer avec leurs enfants à des jeux de plateau. À la différence de la droite numérique américaine, ces jeux comportent des repères : Une ligne brisée pour les petits chevaux et une ligne numérique numérotée spiralaire pour le jeu de l’oie. Là, le déplacement s’effectue dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et les cases importantes sont des multiples de neuf. Comme pour mon mètre à dix brins, il n'y a pas de case numérotée zéro au jeu de l'oie.
     


Cela va devenir encore plus intéressant pour l'apprentissage des fractions.



  •   Apprendre à lire l'heure  
  •   La tarte aux fraises (fractions)  
  •   Somme de deux fractions  


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    Une demi-heure,
    c'est (60mn :2 )

    soit 30 mn



    Un quart d'heure
    c'est (60mn : 4)

    soit 15 mn


    Le tiers d'une heure ,
    c'est (60mn :3 )

    soit 20 mn



    Le sixième d'une heure
    c'est (60mn : 6)

    soit 10 mn


    Le douzième d'une heure ,
    c'est (60mn :12 )

    soit 5 mn



    Une demi-heure, c'est deux quarts d''heure

    soit deux fois quinze minutes.

    Une demi-heure
    c'est aussi

    trois fois 10 mn

    Un quart d'heure

    c'est 3 fois cinq minutes.

    C'est aussi

    10mn + 5 mn

    Le tiers d'une heure

    c'est 20 minutes

    soit

    deux fois dix minutes.

    C'est aussi

    quatre fois cinq minutes

    ou encore

    15 mn + 5 mn

    Il est 2 heures moins le quart


    Il est 2h moins 15 mn


    Il est 1 h et 45 mn


     

    Mesure des angles et des arcs



         On mesure généralement les angles et les arcs en degrés.
         Un angle droit mesure 90°
         Un angle plat mesure 180°
         L'horloge permet d'avoir des repères. La mesure de l'arc correspond à la mesure de l'angle au centre correspondant.
         On prendra pour origine la marque qui correspond à 3h à l'horloge.
         Canvas utilise une autre unité: le radian.

      Plus de précisions

    Pour tracer un cercle on utilise l'instruction:

    t1.arc(310, 310, 300, 0, 2 * Math.PI);

    310 , 310 sont les coordonnées du centre du cercle.
    300 est la mesure, en points, du rayon du cercle.
    0, c'est l'origine de l'arc : en radians: Math.PI*0
    Pour tracer un cercle on construit un arc qui mesure 360°. En radians, Math.PI*12/6. Or la fraction 12/6 c'est aussi 2.
         Pour tracer des arcs on peut remplacer la fraction par le quotient. Par exemple 0.333 au lieu de 2/6

    Exemple

    On va construire un arc de cercle de 90° commençant à 7° et finissant à 97°

    t1.arc(310, 310, 250, Math.PI*7/180, Math.PI*97/180);

    On l'obtient figure de gauche.
    Pour réaliser les parts (fractions),
    il m'a fallu ajouter un triangle ayant pour sommet le centre du cercle et pour côté opposé la corde de l'arc.
    Voir les codes sources.
    On peut obtenir ces coordonnées
    grâce à mon application:
    http://www.rriou.infini.fr/souris/index.php

    Mais aussi par la trigonométrie (cosinus et sinus) pour obtenir les abcisses et les ordonnées des sommets du triangle.

    On pourrait continuer indéfiniment


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         Lorsqu'on simplifie des fractions, en utilisant le cadran de l'horloge, le plus grand dénominateur est 60 (1 heure = 60 minutes). On peut faire des exercices comparables à partir du rapporteur disque (360°). Là, l'origine, 0°, est fixée à 9 heures.
         Il est dommage, qu'on ne trouve plus cet outil, dans la trousse de l'élève du primaire.

        Mon MOOC d'utilisation du rapporteur




        Les fuseaux horaires