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Fiche de préparation

Le but de la leçon est de faire comprendre toutes les lignes des tables par 7, la commutativité, en étudiant tous les problèmes ligne par ligne. L'élève devra donc manipuler, bien observer, dessiner, écrire ses résultats, sur son cahier. On veillera à ne pas faire provoquer d'erreur à l'oral. L'enfant exprimera, avec la précision du langage arithmétique, ce qu'il a vu et compris. (2 fois 3 œufs et 3 fois 2 œufs, par exemple, ce n'est pas exactement la même chose !)
     On commencera par faire établir la suite des nombres:

0 - 7 - 14 - 21 - 28 - 35 - 42 - 49 - 56 - 63 - 70
70 - 63 - 56 - 49 - 42 - 35 - 28 - 21 - 14 - 7 - 0

On fera lire et relire, oralement, ces lignes plusieurs fois afin de mémoriser les résultats de la table par 7.
Ces suites resteront affichées au tableau.

     On passera assez rapidement sur les 6 premières lignes des tables, car elles auront déjà été vues dans des leçons précédentes. On étudiera soigneusement les décompositions multiplicatives de (7 fois 7),(7 fois 8) et (7 fois 9).
     Le tableau mural sera divisé en quatre parties,
  1. Schéma de la table de multiplication
  2. Écriture de la table de multiplication
  3. Schéma de la table des multiples
  4. Écriture de la table des multiples
     Les élèves disposeront de 70 boutons et écriront sur leur cahier de brouillon.

     Je pose le problème:   7 poules vivent au poulailler. Chacune pond un œuf par jour dans son nid. Dessinez, à la craie, les nids sur vos tables, comme sur le tableau.

Schéma de la table de multiplication Écriture de la table de multiplication Schéma de la table des multiples Écriture de la table des multiples
     
7 nids      

      Un œuf sera représenté par un bouton. Faites pondre vos poules. Chaque enfant place un bouton par ensemble.
      Combien y a-t-il d'œufs en tout ?

(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7) soit 7 fois 1       7  (1 x 7 = 7)

     On fera répéter par les enfants 7 fois 1         7 et le maître écrira la ligne 1 x 7 = 7 au tableau.

     À la fin de la journée, on va récupérer nos œufs et les placer dans notre panier.
     Combien d'œufs a-t-on dans son panier ?
     Le maître représente l'ensemble de 7 œufs au tableau.
     Maintenant, pour porter les œufs, combien de fois devra-t-on se déplacer ? Avec combien d'œufs ?
     On fera répéter par les enfants 1 fois 7        7 et le maître écrira la ligne 7 x 1 = 7 au tableau.

Schéma de la table de multiplication Écriture de la table de multiplication Schéma de la table des multiples Écriture de la table des multiples
1 x 7 = 7
7 x 1 = 7
7 nids
Chaque nid contient 1 œuf
 1 panier
chaque panier contient 7 œufs
 

     Mais on décide de laisser les œufs en place, afin d'avoir plus tard des petits poussins. Alors, replacez ces œufs, chacun dans son nid.

     2e jour: Les poules ont pondu chacune un 2e œuf. Placez vos boutons, et dites ce que vous voyez :

(2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14) donc 7 fois 2        14 (2 x 7 = 14)

     Maintenant, vous allez dessiner des paniers, un par jour, et dessiner la récolte journalière. Que devez-vous dessiner ? Deux paniers contenant chacun 7 œufs Donc

(7 + 7 = 14) donc 2 fois 7        14   (7 x 2 = 14)

      Le maître complète, (ou fait compléter le tableau mural par des élèves).

Schéma de la table de multiplication Écriture de la table de multiplication Schéma de la table des multiples Écriture de la table des multiples
1 x 7 =   7
2 x 7 = 14
7 x 1 =   7
7 x 2 = 14
7 nids
Chaque nid contient 2 œufs
 2 paniers
chaque panier contient 7 œufs
 

     3e jour: Les poules ont pondu chacune un 3e œuf. On procède comme la fois précédente.

Schéma de la table de multiplication Écriture de la table de multiplication Schéma de la table des multiples Écriture de la table des multiples
1 x 7 =   7
2 x 7 = 14
3 x 7 = 21
7 x 1 =   7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 nids
Chaque nid contient 3 œufs
 3 paniers
chaque panier contient 7 œufs
 

     4e jour: Les poules ont pondu chacune un 4e œuf. On procède comme la fois précédente.

Schéma de la table de multiplication Écriture de la table de multiplication Schéma de la table des multiples Écriture de la table des multiples
1 x 7 =   7
2 x 7 = 14
3 x 7 = 21
4 x 7 = 28
7 x 1 =   7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 nids
Chaque nid contient 4 œufs
 4 paniers
chaque panier contient 7 œufs
 

     5e jour: Les poules ont pondu chacune un 5e œuf. On procède comme la fois précédente.

Schéma de la table de multiplication Écriture de la table de multiplication Schéma de la table des multiples Écriture de la table des multiples
1 x 7 =   7
2 x 7 = 14
3 x 7 = 21
4 x 7 = 28
5 x 7 = 35
7 x 1 =   7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
7 nids
Chaque nid contient 5 œufs
 5 paniers
chaque panier contient 7 œufs
 

     6e jour: Les poules ont pondu chacune un 6e œuf. On procède comme la fois précédente.

Schéma de la table de multiplication Écriture de la table de multiplication Schéma de la table des multiples Écriture de la table des multiples
1 x 7 =   7
2 x 7 = 14
3 x 7 = 21
4 x 7 = 28
5 x 7 = 35
6 x 7 = 42
7 x 1 =   7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
7 x 6 = 42
7 nids
Chaque nid contient 6 œufs
 6 paniers
chaque panier contient 7 œufs
 

     7e jour: Les poules ont pondu chacune un 7e œuf. On procède d'abord comme la fois précédente.

Schéma de la table de multiplication Écriture de la table de multiplication Schéma de la table des multiples Écriture de la table des multiples
1 x 7 =   7
2 x 7 = 14
3 x 7 = 21
4 x 7 = 28
5 x 7 = 35
6 x 7 = 42
7 x 7 = 49
7 x 1 =   7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
7 x 6 = 42
7 x 7 = 49
7 nids
Chaque nid contient 7 œufs
 7 paniers
chaque panier contient 7 œufs
 

      On va faire remarquer que les lignes des tables de multiplication et des tables des multiples sont identiques.
     On va maintenant demander aux enfants de déplacer les boutons, de les aligner afin de pouvoir observer une ou plusieurs décompositions multiplicatives, qu'ils écriront sur leur cahier. (Les séparations peuvent être matérialisées par des règles). En voici quelques unes :


7 fois 7
c'est
(4 fois 7)+(3 fois 7)
28 + 21 = 49


7 fois 7
c'est
(5 fois 7)+(2 fois 7)
35 + 14 = 49


7 fois 7
c'est
(6 fois 7)+(1 fois 7)
42 + 7 = 49


7 fois 7
c'est
(5 fois 5)+(5 fois 2)+
(2 fois 5)+(2 fois 2)
25+10+10+4= 49

     Chaque élève tâchera de retenir l'algorithme qui lui servira à mémoriser 7 fois 7     49


     8e jour: Les poules ont pondu chacune un 8e œuf. On procède d'abord comme la fois précédente.

Schéma de la table de multiplication Écriture de la table de multiplication Schéma de la table des multiples Écriture de la table des multiples
1 x 7 =   7
2 x 7 = 14
3 x 7 = 21
4 x 7 = 28
5 x 7 = 35
6 x 7 = 42
7 x 7 = 49
8 x 7 = 56
7 x 1 =   7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
7 x 6 = 42
7 x 7 = 49
7 x 8 = 56
7 nids
Chaque nid contient 8 œufs
 8 paniers
chaque panier contient 7 œufs
 

     (7 fois 8) ou (8 fois 7) sont les lignes que les enfants ont le plus de mal à mémoriser. Après les recherches des enfants, leurs manipulations, je ne vais retenir que 3 décompositions multiplicatives.


7 fois 8
c'est
(5 fois 8)+(2 fois 8)
40 + 16 = 56

Pour passer à la table des multiples,
sans modifier les alignements,
on demandera aux enfants de
se lever et de se déplacer à 90°.

C'est la notion de commutativité.

Le même ensemble est vu
sous deux angles différents.


8 fois 7
c'est
(4 fois 7)+(4 fois 7)
28 + 28 = 56

 
8 fois 7
c'est
(5 fois 7)+(3 fois 7)
35 + 21 = 56


     9e jour: Les poules ont pondu chacune un 9e œuf. On procède d'abord comme la fois précédente.

Schéma de la table de multiplication Écriture de la table de multiplication Schéma de la table des multiples Écriture de la table des multiples
1 x 7 =   7
2 x 7 = 14
3 x 7 = 21
4 x 7 = 28
5 x 7 = 35
6 x 7 = 42
7 x 7 = 49
8 x 7 = 56
9 x 7 = 63
7 x 1 =   7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
7 x 6 = 42
7 x 7 = 49
7 x 8 = 56
7 x 9 = 63
7 nids
Chaque nid contient 9 œufs
 9 paniers
chaque panier contient 7 œufs
 

Après les recherches des enfants, leurs manipulations, je ne vais retenir que 3 décompositions multiplicatives.


7 fois 9
c'est
(5 fois 9)+(2 fois 9)
45 + 18 = 63

Pour passer à la table des multiples,
sans modifier les alignements,
on demandera aux enfants de
se lever et de se déplacer à 90°.

C'est la notion de commutativité.

Le même ensemble est vu
sous deux angles différents.


9 fois 7
c'est
(5 fois 7)+(4 fois 7)
35 + 28 = 63
 
9 fois 7
c'est
(10 fois 7)-(1 fois 7)
70 - 7 = 63

Un truc de la table par 9

     On plie le 7e doigt. On a, à gauche, le chiffre des dizaines, 6 et à droite, le chiffre des unités, 3.
On remarquera aussi que 6 + 3 = 9

     10e jour: Les poules ont pondu chacune un 10e œuf. On procède d'abord comme la fois précédente.

Schéma de la table de multiplication Écriture de la table de multiplication Schéma de la table des multiples Écriture de la table des multiples
  1 x 7 =   7
2 x 7 = 14
3 x 7 = 21
4 x 7 = 28
5 x 7 = 35
6 x 7 = 42
7 x 7 = 49
8 x 7 = 56
9 x 7 = 63
10 x 7 = 70
7 x 1 =   7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
7 x 6 = 42
7 x 7 = 49
7 x 8 = 56
7 x 9 = 63
7 x 10 = 70
7 nids
Chaque nid contient 10 œufs
 10 paniers
chaque panier contient 7 œufs
 

Mémoriser 7 fois 10 =70, ne présente pas de difficulté.



     L'enfant qui entre au CE2 devrait connaître parfaitement ses tables x5 et x2.
     Donc en utilisant les décompositions multiplicatives établies par les manipulations on pourrait aussi retrouver n'importe quelle ligne de la table par 7, car 5+2=7.
En résumé

Table des multiples

1 fois 7   52  5 +2  7
2 fois 7   10 4  10 +4  14
3 fois 7   15 6  15 +6  21
4 fois 7   20 8  20 +8  28
5 fois 7   25 10  25 +10  35
6 fois 7   30 12  30 +12  42
7 fois 7   35 14  35 +14  49
8 fois 7   40 16  40 +16  56
9 fois 7   45 18  45 +18  63
10 fois 7   50 20  50 +20  70


Table de multiplication

7 fois 1 c'est 5 fois 1 plus 2 fois 1 donc 5 + 2 = 7
7 fois 2 c'est 5 fois 2 plus 2 fois 2 donc 10 + 4 = 14
7 fois 3 c'est 5 fois 3 plus 2 fois 3 donc 15 + 6 = 21
7 fois 4 c'est 5 fois 4 plus 2 fois 4 donc 20 + 8 = 28
7 fois 5 c'est 5 fois 5 plus 2 fois 5 donc 25 + 10 = 35
7 fois 6 c'est 5 fois 6 plus 2 fois 6 donc 30 + 12 = 42
7 fois 7 c'est 5 fois 7 plus 2 fois 7 donc 35 + 14 = 49
7 fois 8 c'est 5 fois 8 plus 2 fois 8 donc 40 + 16 = 56
7 fois 9 c'est 5 fois 9 plus 2 fois 9 donc 45 + 18 = 63
7 fois 10 c'est 5 fois 10 plus 2 fois 10 donc 50 + 20 = 70


     Ensuite on va faire lire à haute voix la table destinée à être apprise par cœur. On veillera à éviter autant que possible les erreurs de prononciation qui pourraient parasiter plus tard les réponses en calcul mental.

7  fois    1         7
7  fois    2       14
7  fois    3       21
7  fois    4       28
7  fois    5       35
7  fois    6       42
7  fois    7       49
7  fois    8       56
7  fois    9       63
7  fois  10       70

     Je recommande d'exécuter ensuite, en fin de journée, ou le lendemain, des exercices, en utilisant le livre Techniques opératoires au cycle III (éditions Buissonnières à CROZON (29)
  • Multiplications (page 23)
  • Divisions (pages 55 à 59)



EXEMPLES DE MULTIPLICATIONS

     De préférence, présenter les opérations à partir d'un problème simple.

Je fais lire à haute voix les trois opérations:
 
841
x  7
5 887
7 fois 1, 7
Je pose 7
7 fois 4, 28
Je pose 8 et je retiens 2
7 fois 8, 56 et 2, 58
Je pose 8 et j'avance le 5
 
732
x  7
5 124
7 fois 2, 14
Je pose 4 et je retiens 1
7 fois 3, 21 et 1, 22
Je pose 2 et je retiens 2
7 fois 7, 49 et 2, 51
Je pose 1 et j'avance le 5
 
659
x  7
4 613
7 fois 9, 63
Je pose 3 et je retiens 6
7 fois 5, 35 et 6, 41
Je pose 1 et je retiens 4
7 fois 6, 42 et 4, 46
Je pose 6 et j'avance le 4
Je demande à résoudre les mêmes opérations:
À la moindre erreur, la moindre hésitation, je demande de relire le modèle.

  
841
x  7
 
732
x  7
 
659
x  7

La table de multiplication apprise dans l'ordre va être lue, puis appliquée, dans le désordre.



EXEMPLES DE DIVISIONS

Avant, les exercices de divisions, il faudra rappeler la suite des nombres.

0-1-2-3-4-5-6- 7 -8-9-10-11-12-13- 14 -15-16-17-18-19-20- 21 -22-23-24-25-26-27- 28 -29-30-31-32-33-34- 35 -36-37-38-39-40-41- 42 -43-44-45-46-47-48- 49 -50-51-52-53-54-55- 56 -57-58-59-60-61-62- 63 -64-65-66-67-68-69- 70

ou mieux

  0
-1-2-3-4-5-6- 7
-8-9-10-11-12-13- 14
-15-16-17-18-19-20- 21
-22-23-24-25-26-27- 28
-29-30-31-32-33-34- 35
-36-37-38-39-40-41- 42
-43-44-45-46-47-48- 49
-50-51-52-53-54-55- 56
-57-58-59-60-61-62- 63
-64-65-66-67-68-69- 70


     On partira ensuite du concret, en posant divers problèmes, où le dividende sera inférieur à 70 pour parvenir à la technique opératoire de la division.
On les résoudra, d'abord par des manipulations, en alignant nos boutons. Que le problème soit un partage partition, ou un partage quotition, la disposition finale des boutons sera la même, afin d'uniformiser la technique opératoire. Entre "En 37 combien de fois 7" ou "37 divisés par 7", j'ai fait le choix de la quotition pour la mécanique opératoire. Les schémas mettent en évidence la commutativité de la multiplication. On pourrait procéder différemment, mais le plus important, ce sont les schémas à mémoriser.
     Les enfants seront invités à exprimer oralement les résultats de leurs observations en ne négligeant aucun détail.

1er  exemple de problème simple

Un pâtissier a acheté 37 œufs pour faire des gâteaux.
Il utilise 7 œufs par gâteau.
Combien de gâteaux peut-il faire ?


(7 x 5)+2=37
(7 x 6)-5=37

Je recherche 37 dans la table par 7
Le nombre 37 est compris entre 35 et 42
ALGORITHME


En 37 combien de fois 7 ?
Il y va 5 fois.
5 fois 7 , 35.
Oté 35 de 37, il reste 2.

Solution

Le pâtissier pourra faire 5 gâteaux.
Il utilisera 35 œufs.
Il lui restera 2 œufs.
Il lui manque 5 œufs pour faire un 6e gâteau.

2e   exemple de problème simple

Grand-mère partage 37 bonbons entre ses 7 petits-enfants.
Combien de bonbons aura chacun ?

(5 x 7)+2=37
(6 x 7)-5=37

Je recherche 37 dans la table par 7
Le nombre 37 est compris entre 35 et 42
ALGORITHME


En 37 combien de fois 7 ?
Il y va 5 fois.
5 fois 7 , 35.
Oté 35 de 37, il reste 2.

Solution

Chacun des 7 petits enfants aura 5 bonbons.
Il en restera 2 à la grand-mère.
Si elle distibuait un 6e à Alice et Bernard, alors, Isabelle, Julien, Nicole, René et Yvette seraient jaloux.


On arrivera ensuite au calcul abstrait (recherche par encadrements, multiplication, soustraction).
Ensuite, on ancrera l'algorithme, en mémoire, par des exercices répétitifs.

On peut permuter le diviseur et le quotient
(commutativité de la multiplication)
dans la preuve de la division.
( 5 x 7 ) + 2 = ( 7 x 5 )  + 2 = 37
Dans la division partition, 37 est le tout, 7 le nombre de parts, 5 la valeur d'une part et 2 le reste.
Grâce à la commutativité ( 7 fois 5 égale 5 fois 7), dans la division quotition, la valeur d'une part devient le diviseur.
On pourra donc appliquer la même technique opératoire pour les deux formes de divisions.

Cette manipulation permet de débloquer le report de la technique opératoire à la Saint-Glinglin.

     Le livre des éditions Buissonnières contient les 69 divisions possibles, dont voici quelques modèles:

Il ne s'agit pas d'apprendre par cœur toutes ces opérations, mais d'en mémoriser l'algorithme.
Chaque élément est à sa place (repères spatiaux).



Je fais lire à haute voix les opérations:
 
49   7
0   7
En 49
combien de fois 7? 7
7 fois 7, 49
49 ôté de 49, reste 0
50   7
1   7
En 50
combien de fois 7? 7
7 fois 7, 49
49 ôté de 50, reste 1
51   7
2   7
En 51
combien de fois 7? 7
7 fois 7, 49
49 ôté de 51, reste 2
52   7
3   7
En 52
combien de fois 7? 7
7 fois 7, 49
49 ôté de 52, reste 3
53   7
4   7
En 53
combien de fois 7? 7
7 fois 7, 49
49 ôté de 53, reste 4
54   7
5   7
En 54
combien de fois 7? 7
7 fois 7, 49
49 ôté de 54, reste 5
55   7
6   7
En 55
combien de fois 7? 7
7 fois 7, 49
49 ôté de 55, reste 6
Je demande à résoudre les mêmes opérations:
À la moindre erreur, la moindre hésitation, je demande de relire le modèle.

  
49   7
   
50   7
     
51   7
     
52   7
     
53   7
     
54   7
     
55   7
     

Remarques

   Je viens de faire de mémoire une fiche qui ressemble à celle que j'ai utilisée pour la dernière fois, il y a près de 20 ans déjà, et pour la première fois, en ... 1967. Donc, ici, je n'ai peut-être pas employé les mots justes. C'est, surtout, la démarche pédagogique qu'il faudrait retenir. C'est la démarche scientifique de la leçon d'observation des années 60. On apprend à l'enfant à observer dans le moindre détail, à provoquer sa curiosité, à exprimer ce qu'il voit, à le représenter, à mémoriser.
   Cette fiche, je ne l'ai pas inventée. Avant 1970, l'Ecole Libératrice, revue du SNI (Syndicat national des instituteurs), publiait chaque semaine tout un fascicule de modèles de fiches pratiques. C'est là que je l'avais découverte.
      On fera remarquer que les nids sont plats (ligne horizontale) tandis que les paniers sont profonds (ligne verticale).
     Je ne suis pas allé, toujours, au bout de la fiche, faute de temps. Dans ma classe à plusieurs niveaux (CE2-CM1-CM2), il fallait avoir l'œil sur sa montre. Et il fallait abréger, préparer les exercices écrits. Alors, seuls les très bons élèves pouvaient retenir les algorithmes des opérations les plus difficiles qu'ils avaient découverts. Il ne suffit pas de trouver, ou surtout, de regarder ce que les autres ont trouvé, il faut aussi mémoriser. C'était difficile car je ne disposais pas d'un support visuel permanent de qualité.
     Mes petits programmes informatiques devraient permettre de résoudre ce problème, de poursuivre le travail ébauché et de consolider l'acquisition des automatismes.

   Voir ces programmes

     Mon programme d'entraînement (multi.htm) permet d'afficher à l'écran les principales décompositions. Par copie d'écran, impression, agrandissement à l'aide de la photocopieuse, on pourrait tirer des images pour un affichage mural. Ainsi, tous les élèves pourraient mémoriser intelligemment les lignes les plus difficiles des tables.

     Je ne connaissais pas le «truc» des mains. Merci à l'ami François qui me l'a appris récemment.

     Le soir, à la fin des classes, je demandais aux enfants de lire la table (avec le mot fois) avant d'aller au lit. Je leur précisais qu'ils seraient interrogés le lendemain, dans le désordre.
     Nous savions que le sommeil joue un rôle important dans la mémorisation, et que ce serait le schéma de chaque ligne qui serait mémorisé. Les enfants vont revivre les manipulations de la leçon.
     Aujourd'hui cette conviction est devenue une certitude.
     Il faudra attendre les travaux de Karni et coll. (1994), puis ceux des équipes de Stickgold, Ribeiro, et Born, pour prouver que, sans aucun entraînement supplémentaire, les performances cognitives et motrices s'améliorent significativement et de façon durable après une période de sommeil, alors la perturbation du sommeil bloque sélectivement cette consolidation.

   Cours de Stanislas Dehaène au Collège de France


     Le matin, les parents disponibles et consciencieux faisaient reviser la leçon à leur enfant, avant le départ pour l'école. Et moi, je n'avais qu'à contrôler...
     Le premier jour, le matin, j'utilisais le procédé Lamartinière. 5 petits problèmes et je donnais 10 secondes de réflexion avant de répondre. Dans la journée, je les faisais passer un par un à l'ordinateur (Voir mes programmes). Pas de limite de temps, mais il fallait tout de même répondre le plus rapidement possible. Les jours suivants je diminuais progressivement le temps de réflexion du procédé Lamartinière et je variais les méthodes d'interrogations, orales ou écrites, en alternant multiplications et divisions à reste nul. Plus tard, je passais à la division euclidienne avec reste non nul. C'est le fin du fin. Alors, on sait sa table de multiplication.
     Je ne pense pas avoir eu d'élèves particulièrement stressés. Et finalement, tous parvenaient à comprendre et mémoriser ces tables. Et ils les savent encore aujourd'hui, de nombreuses années après.

SINGAPOUR

IMPORTANT !!!
Le livre de CE2 de Singapour dont je fais l'éloge est celui préfacé par le grand mathématicien Laurent Lafforgue.
Une nouvelle version vient de paraître, une traduction américanisée qui ne tient aucun compte des particularités de la langue française.


     Après les brillants résultats de Singapour à TIMSS 2015, j'ai eu la curiosité d'aller étudier leur méthode. D'abord, le livre de l'élève est l'outil qui aurait été parfait pour mes élèves. Les schémas à mémoriser sont les mêmes que les miens. Comme moi, ils font construire les 2 formes de tables (multiples et multiplications) simultanément. Les schémas de la multiplication sont les mêmes que ceux de la division.
     Mais, ils ne procèdent pas de la même façon. Tandis que moi, j'aligne les éléments un par un, à Singapour on présente d'abord le rectangle quadrillé.
     On découpe le quadrillage par bandes.

7 fois 3 ou 3 x 7 = 3 + 3 + 3 + 3 +3 +3 + 3 = 21

À Singapour on décompose les mêmes opérations que les miennes :
(7 x 7) ; (8 x 7) (7 x 8); (9 x 7 ) (7 x 9)
Voici leur décomposition de 7 fois 7
7 fois 7 = 2 fois 7 + 2 fois 7 + 3 fois 7
ou 7 fois 7 = 4 fois 7 + 3 fois 7
soit 28 + 21 =49

     Ensuite, on schématise chaque opération.
     Cette présentation a l'avantage de prendre la commutativité d'emblée. La langue anglaise permet de faire lire 7 groupes de 3 : (7 x 3) au lieu de (3 x 7). Mais avec l'apprentissage simultané de la division et de la multiplication, l'opérateur des mathématiques modernes va permettre d'avoir une idée concrète des problèmes de vie courante.


     Mais voici le schéma qui est l'un des atouts de Singapour, pour résoudre des problèmes.
     Le même schéma sert à représenter la multiplication et la division

    Ce schéma convient bien tant que le reste de la division est nul. Mais, lorsque le reste est supérieur à zéro, je pense que mon schéma est préférable. L'alignement des éléments, un par un , permet d'avoir une meilleure compréhension des problèmes que ne donne pas un affichage désordonné de tous les éléments.
     La représentation de la suite des nombres est également une ligne brisée.



La nouvelle représentation de Singapour après un transit aux USA.
Les deux méthodes sont contradictoires.



Tout un symbole.
La file numérotée de la Kahn Academy

La disposition des nombres préconisée par la méthode de Singapour recommandée par Laurent Lafforgue est astucieuse. On voit très bien en bout de ligne, ce que l'on appelait autrefois la gare des dizaines. (10-20-30-40-etc ...)
On passe
  • de 7 à 14 par la gare de 10: ( 7+(3 +4))
  • de 14 à 21 par la gare de 20 : (14+(6+1))
  • de 28 à 35 par la gare de 30: (28+(2+5))
  • de 35 à 42 par la gare de 40: (35+(5+2))
  • de 49 à 56 par la gare de 50: (49+(1+6))
  • de 56 à 63 par la gare de 60; (56+(4+3))
Les autres multiples de 7 sont obtenus sans avoir recours à une retenue.

Autrefois, c'est ce calcul que l'on faisait faire pour établir la liste des multiples de 7. Il ne nous serait jamais venu à l'idée de faire du comptage-numérotage. Comment voulez-vous qu'un enfant puisse trouver des repères dans cette file numérotée américaine ?

Le tableau comprenant les gares des dizaines, permet d'aller bien plus loin que la table de multiplication, de jouer avec les nombres. On peut observer une disposition géométrique des nombres multiples de 7.
Dans la suite de nombres matérialisée par la ligne (14 ... 98), quel sera le multiple suivant ?


Cette suite de nombres est géniale: Elle utilise les compléments à 10 et les décompositions additives du nombre 7 (de 6 , 8 ou 9 pour les autres tables difficiles à mémoriser). Là, on joue avec les nombres. On ne numérote pas. Je ne connaissais pas cette méthode. On a toujours quelque chose à apprendre. Mais les "experts" français, eux, ils savent tout. Ils n'ont rien à apprendre des autres. Tout juste s'ils ne font pas la leçon aux pédagogues de Singapour.


     Si c'était à refaire, je fignolerais ma fiche en me servant des atouts de Singapour, et leur livre de CE2 est un véritable bijou. Les enfants de Singapour ont des schémas devant les yeux à chaque fois qu'ils ouvrent leur manuel !!!
     Je ne vais pas dire comment je procéderais exactement. Cela va faire près de 20 ans que je n'ai pas eu d'élèves. Mais je n'oublierais pas qu'en France on parle Français et qu'à Singapour on parle quatre langues, l'anglais, le mandarin, le malais, le tamoul. À l'école, les cours se font en anglais. D'où l'importance des schémas.
     Mes premiers élèves n'avaient que les traces laissées sur le cahier de brouillon comme aide visuelle permanente. Donc seuls les très bons élèves mémorisaient les schémas les plus difficiles. Les autres devaient retenir bêtement une dizaine de lignes sur une centaine. Le livre de Singapour permet à tout le monde d'avoir en mémoire ces algorithmes difficiles. Un grand merci aux pédagogues de Singapour ! Maintenant, je n'oublierais pas un affichage mural. Mais c'est trop tard, malheureusement.
     " J'entends et j'oublie, je vois et je me souviens, je fais et je comprends "
     De cette vieille maxime pédagogique chinoise, les pédagogues français ne retiennent que le verbe entendre, tandis qu'à Singapour, ce sont les verbes faire et voir qui ont la priorité. Et c'est bien là le drame français. Les enfants qui apprennent les automatismes dans une langue différente de leur langue maternelle ou qui n'ont pas un vocabulaire très riche, ou qui ont une lecture hésitante, sont pénalisés. À Singapour, la priorité donnée aux schémas visuels permet de réduire les barrières linguistiques et sociales.
     J'émettrais une réserve sur le livre de CE1. Peut-être convient-il dans un cours unique ?
     Ce dont je suis certain, c'est que je n'aurais pas pu l'utiliser dans ma classe (CE1-CE2-CM1-CM2). Je n'aurais pas pu faire lire 2 x 3, deux fois trois, tandis qu'au CE2 et au CM, j'étais un maniaque de 3 fois 2, pour la compréhension des problèmes (la place de l'opérateur). La traduction du livre de CE1 ne devrait-elle pas être revue, afin d'être adaptée à la langue française ?
Mais pour mieux comprendre comment on mémorise verbalement les tables de multiplication à Singapour, le mieux est d'aller à la source elle-même,   à Singapour.
On peut aussi y découvrir d'autres astuces pour une mémorisation plus abstraite de certaines tables. Par comparaison, voici les suites que je proposais :   Voir

Nul ne détient à lui seul toute la vérité. J'ai encore beaucoup de choses à apprendre.


     Une controverse fait rage en France sur l'apprentissage de la division. Il ne faut pas confondre division et technique opératoire de la division.
     N'étant pas un spécialiste, ni du CP, ni du CE1, je me garderais bien de commenter.
À Singapour, ce n'est qu'au CE1 qu'apparaît le signe de la division en ligne :


(page 73) diviser 8 oranges en 2 groupes égaux.

     Le symbole de Singapour est différent du symbole français. Il ressemble plus à une barre de fraction.
     Toutes les divisions, au CE1, ont un quotient inférieur à 10, un reste nul. Elles complètent l'apprentissage d'une table de multiplication (2, 5, 3, 4 et 10).
     La potence, c'est au CE2, à partir de la page 57, avec d'ailleurs une erreur de traduction (Quotient et retenue). Moi, j'aurais écrit reste au lieu de retenue. L'apprentissage est progressif. On ne trouve aucun diviseur supérieur à 10 dans le livre de CE2. Les diviseurs de 2 chiffres, c'est au CM2.
  À Singapour, on pose la soustraction.
Dans la division traditionnelle française, on l'effectuait mentalement.
Cela demandait un plus gros effort de mémorisation, mais on obtenait une plus grande virtuosité.
À Singapour, on ne brûle pas les étapes. Ce n'est qu'à la page 64 qu'on passe à la division à trois étages.
 
     Pendant ce temps, ceux qui en France sont opposés à la division au CP-CE1, ne craignent pas de faire apprendre d'emblée, diviser 67 par 3, page 129 pour l'un et diviser 857 par 3, page 117, pour un autre, sans passer par la première étape.
Drôle de progression !

Progression à Singapour (dès la page 57 du manuel de l'élève ) au CE2:

Dans la nouvelle version du livre de la librairie des écoles, la première potence, c'est (82:4) à la page 92. On met la charrue avant les bœufs.
Cette technique opératoire fait suite à l'apprentissage des tables de multiplication, alors que dans le livre préfacé par Laurent Laffforgue, elle les précédait. Cela permettait d'avoir une potence pour un quotient à un chiffre, de verbaliser la procédure de la division et de mémoriser les tables. Dans la langue française, on a besoin de la table de multiplication et de la table des multiples pour comprendre le sens concret de chaque problème posé. Cette américanisation du calcul est une grosse faute pédagogique.

À Singapour, on pose la soustraction. L'enfant n'a donc pas à garder en mémoire tout le contenu de la soustraction. L'algorithme est matérialisé.

(9:2); (12:2)
(28:2); (34:2); (73:2)
(400:2); (500:2); (550:2);

Révision des tables par 3; 4; 5
(96:4); (80:3); (426:3); (823:4)

Ce n'est qu'ensuite qu'on procédera à des divisions par 6;7;8;9 au moment de l'apprentissage de ces tables de multiplication.

     Avant 1970, en France, tel que je l'ai fait, on posait une potence dès le CP. Mais pouvait-on vraiment parler de technique opératoire ? Cette potence permettait surtout à l'enfant à se repérer dans l'espace. Chaque élément devait être à sa place.
     Le plus important, au cours élémentaire, à Singapour, comme dans la méthode de l'école libératrice, ce sont les schémas qui servent aussi bien pour la multiplication que la division. Donc l'enfant comprend simultanément le sens des problèmes de multiplications et de divisions. Apprendre les opérations les unes après les autres est donc une progression rétrograde. Voilà comment les petits Français prennent trois années de retard sur les petits Singapouriens.

     La page 70 du manuel de CE2, première leçon des tables de multiplication, me rappelle mon Postel des années 70.
     La machine multiplie le nombre qu'on donne par 6.
     La machine divise le nombre qu'on donne par 6.

     Le chapitre 6, page 106 est consacré au calcul mental.
     Ce ne sont pas les mathématiques du 19e siècle. À Singapour, on se sert d'opérateurs (les machines) qu'on décompose ou qu'on réduit.
     Les chaînes d'opérateurs, en résolution de problèmes, c'est la programmation informatique sans ordinateur.
     L'opérateur n'est qu'un élément d'une opération. Une chaîne est un algorithme. La comprendre, c'est être capable de la décomposer, puis de la recomposer. Cet algorithme peut être traduit et écrit dans un langage de programmation informatique pour être exécuté par un ordinateur.
     Les enfants de Singapour se préparent aux progrès techniques du 21e siècle.


     En nous servant des atouts des uns et des autres, la France pourrait retrouver son niveau d'antan. Mais cela ne sera possible que le jour où les chercheurs français feront preuve d'humilité et acceptent de se remettre en cause. Pourquoi ne font-ils pas l'effort de recherche que j'ai fait à mon petit niveau ?


J'ai été agréablement surpris en écoutant notre nouveau ministre de l'éducation nationale:   Écouter...